O Paradoxo dos GêmeosO tempo passa com a mesma velocidade para todas as pessoas? |
Ronald C. Lasky
| Malcolm Godwin |
 |
O termo “dilatação do tempo” foi cunhado para descrever a desaceleração do tempo provocada pelo movimento. Para ilustrar o efeito, Einstein propôs um exemplo – o paradoxo dos gêmeos – que é indiscutivelmente o mais famoso experimento idealizado da teoria da relatividade. Nesse suposto paradoxo, um dos gêmeos viaja quase com a velocidade da luz para uma estrela distante e volta à Terra. De acordo com a teoria da relatividade, quando voltar estará mais jovem que seu gêmeo idêntico que aqui permaneceu.
O paradoxo se baseia na pergunta “Por que o irmão que viajou está mais jovem ao regressar?” A relatividade especial afirma que, ao passar por um observador, um relógio deslocando-se a altas velocidades parece andar mais devagar – isto é, há uma dilatação do tempo. (Muitos de nós resolvemos esse problema do relógio em deslocamento em física do ensino médio para demonstrar um efeito da natureza absoluta da velocidade da luz.) Como a relatividade especial garante que não existe movimento absoluto, o irmão que viajou para a estrela também não deveria ver o relógio de seu irmão na Terra andar mais devagar? Se isso fosse verdade, eles não deveriam ter a mesma idade?
Esse paradoxo é discutido em vários livros, mas resolvido em poucos. Para explicá-lo costuma-se dizer que o irmão que sente a aceleração é o que está mais jovem, logo o irmão que viaja para a estrela estará mais jovem no retorno. Embora o resultado esteja correto, a explicação é falaciosa. Alguns podem assumir falsamente que a aceleração provoca a diferença de idade e que é necessário apelar para a teoria geral da relatividade, que trata de sistemas de referência não inerciais ou em aceleração para explicar o paradoxo. Mas a aceleração a que foi submetido o viajante é acidental e a relatividade especial sozinha pode não ser suficiente para desvendar o paradoxo.
Estranha Viagem
Vamos supor que os irmãos gêmeos, apelidados de “viageiro” e “caseiro”, vivem em Hanover, no estado americano de New Hampshire. Eles têm gostos diferentes, mas compartilham um desejo comum: construir uma nave espacial que possa chegar a 0,6 vez a velocidade da luz (0,6 c). Depois de trabalhar na espaçonave durante anos eles estão prontos para lançá-la, tripulada por viageiro, em direção a uma estrela situada a seis anos-luz de distância.
A nave é acelerada rapidamente a 0,6 c. Para atingir essa velocidade, Viageiro levará pouco mais de 100 dias a uma aceleração de 2 g. Dois g significa duas vezes a aceleração da gravidade, a aceleração experimentada quando se gira num loop de uma montanha-russa. No entanto, se Viageiro fosse um elétron, poderia ser acelerado até 0,6 c numa fração de segundo. Por isso, o tempo para atingir 0,6 c não é essencial para a discussão.
Viageiro utiliza a equação da contração do espaço da relatividade especial para medir a distância. Assim, a estrela que está a seis anos-luz de Caseiro parece estar somente a 4,8 anos-luz de distância de Viageiro a uma velocidade de 0,6 c. Dessa forma, para Viageiro, a viagem até a estrela leva apenas oito anos (4,8/0,6), enquanto para Caseiro o cálculo resulta em 10 anos (6,0/0,6). Para resolver esse paradoxo precisamos considerar como cada gêmeo veria o tempo marcado pelo seu próprio relógio e pelo relógio do outro durante a viagem. Vamos supor que cada gêmeo tenha um telescópio muito poderoso, que permita essa observação. Surpreendentemente, para explicar o paradoxo basta considerar o tempo que a luz leva para se propagar entre os dois gêmeos.
Viageiro e Caseiro zeram seus relógios quando Viageiro parte da Terra rumo à estrela. Quando Viageiro chega à estrela, seu relógio marca oito anos. Mas quando Caseiro vê Viageiro chegar à estrela, seu relógio indica 16 anos. Por que 16 anos? Porque, para Caseiro, a nave leva 10 anos para chegar à estrela, e a luz que mostra Viageiro na estrela leva mais seis anos para voltar à Terra. Assim, visto pelo telescópio de Caseiro, o relógio de Viageiro parece estar andando com metade da velocidade do seu próprio relógio (8/16).
Quando Viageiro chega à estrela, seu relógio indica que se passaram oito anos, como mencionado, mas para ele o relógio de Caseiro marca seis anos menos (o tempo que a luz leva para ir da Terra até ele), ou quatro anos (10 menos 6). De modo que Viageiro também vê o relógio de Caseiro andando com metade da velocidade de seu relógio (4/8).
Vamos supor que os irmãos gêmeos, apelidados de “viageiro” e “caseiro”, vivem em Hanover, no estado americano de New Hampshire. Eles têm gostos diferentes, mas compartilham um desejo comum: construir uma nave espacial que possa chegar a 0,6 vez a velocidade da luz (0,6 c). Depois de trabalhar na espaçonave durante anos eles estão prontos para lançá-la, tripulada por viageiro, em direção a uma estrela situada a seis anos-luz de distância.
A nave é acelerada rapidamente a 0,6 c. Para atingir essa velocidade, Viageiro levará pouco mais de 100 dias a uma aceleração de 2 g. Dois g significa duas vezes a aceleração da gravidade, a aceleração experimentada quando se gira num loop de uma montanha-russa. No entanto, se Viageiro fosse um elétron, poderia ser acelerado até 0,6 c numa fração de segundo. Por isso, o tempo para atingir 0,6 c não é essencial para a discussão.
Viageiro utiliza a equação da contração do espaço da relatividade especial para medir a distância. Assim, a estrela que está a seis anos-luz de Caseiro parece estar somente a 4,8 anos-luz de distância de Viageiro a uma velocidade de 0,6 c. Dessa forma, para Viageiro, a viagem até a estrela leva apenas oito anos (4,8/0,6), enquanto para Caseiro o cálculo resulta em 10 anos (6,0/0,6). Para resolver esse paradoxo precisamos considerar como cada gêmeo veria o tempo marcado pelo seu próprio relógio e pelo relógio do outro durante a viagem. Vamos supor que cada gêmeo tenha um telescópio muito poderoso, que permita essa observação. Surpreendentemente, para explicar o paradoxo basta considerar o tempo que a luz leva para se propagar entre os dois gêmeos.
Viageiro e Caseiro zeram seus relógios quando Viageiro parte da Terra rumo à estrela. Quando Viageiro chega à estrela, seu relógio marca oito anos. Mas quando Caseiro vê Viageiro chegar à estrela, seu relógio indica 16 anos. Por que 16 anos? Porque, para Caseiro, a nave leva 10 anos para chegar à estrela, e a luz que mostra Viageiro na estrela leva mais seis anos para voltar à Terra. Assim, visto pelo telescópio de Caseiro, o relógio de Viageiro parece estar andando com metade da velocidade do seu próprio relógio (8/16).
Quando Viageiro chega à estrela, seu relógio indica que se passaram oito anos, como mencionado, mas para ele o relógio de Caseiro marca seis anos menos (o tempo que a luz leva para ir da Terra até ele), ou quatro anos (10 menos 6). De modo que Viageiro também vê o relógio de Caseiro andando com metade da velocidade de seu relógio (4/8).
De gêmeo a irmão caçula
Na viagem de volta, Caseiro vê o relógio de Viageiro passar de oito para 16 anos, num período de apenas quatro anos, porque seu relógio marcava 16 anos quando ele viu Viageiro deixar a estrela e indicará 20 anos quando Viageiro chegar à Terra. Assim, Caseiro agora vê o relógio de Viageiro avançar oito anos num período de apenas quatro anos de seu tempo; para ele, o relógio de Viageiro anda duas vezes mais rápido que o seu.
Enquanto Viageiro volta para casa, ele vê o relógio de Caseiro avançar de quatro para 20 anos em oito anos de seu tempo. Assim, ele também vê o relógio de seu irmão avançar com o dobro da velocidade do seu. Mas ambos concordam que, no final da viagem, o relógio de Viageiro marca 16 anos e o de Caseiro 20 anos. Portanto, Viageiro está quatro anos mais jovem.
A assimetria no paradoxo é que Viageiro sai do sistema de referência da Terra e volta, enquanto Caseiro nunca deixou a Terra. Também é uma assimetria o fato de Viageiro e Caseiro concordarem sobre a leitura no relógio de Viageiro em cada evento mas não concordarem sobre a leitura do relógio de Caseiro em cada evento. As ações de Viageiro definem os eventos.
Juntos, o efeito Doppler e a relatividade explicam esse efeito matematicamente em qualquer instante. O leitor também poderá notar que a velocidade com que determinado relógio parece marcar o tempo também depende de ele estar se afastando ou se aproximando do observador.
Finalmente, é preciso mostrar que o paradoxo dos gêmeos é, hoje, mais que uma teoria, porque suas bases foram confirmadas experimentalmente. Num experimento desse tipo, o tempo de decaimento de um múon confirma a existência da dilatação do tempo. Múons estacionários têm vida média de cerca de 2,2 microssegundos. Quando passam por um observador em velocidade de 0,9994 c, sua vida média aumenta para 63,5 microssegundos, exatamente como prevê a relatividade especial. Experimentos em que relógios atômicos são transportados em velocidades variáveis também produziram resultados que confirmam a relatividade especial e o paradoxo dos gêmeos. No famoso experimento de Hafele-Keating em 1971, por exemplo, os pesquisadores colocaram relógios atômicos de césio a bordo de aviões comerciais que viajavam – primeiro para leste e depois para oeste – e compararam esses tempos com medidas de relógios fixos no Observatório Naval dos Estados Unidos.
Na viagem de volta, Caseiro vê o relógio de Viageiro passar de oito para 16 anos, num período de apenas quatro anos, porque seu relógio marcava 16 anos quando ele viu Viageiro deixar a estrela e indicará 20 anos quando Viageiro chegar à Terra. Assim, Caseiro agora vê o relógio de Viageiro avançar oito anos num período de apenas quatro anos de seu tempo; para ele, o relógio de Viageiro anda duas vezes mais rápido que o seu.
Enquanto Viageiro volta para casa, ele vê o relógio de Caseiro avançar de quatro para 20 anos em oito anos de seu tempo. Assim, ele também vê o relógio de seu irmão avançar com o dobro da velocidade do seu. Mas ambos concordam que, no final da viagem, o relógio de Viageiro marca 16 anos e o de Caseiro 20 anos. Portanto, Viageiro está quatro anos mais jovem.
A assimetria no paradoxo é que Viageiro sai do sistema de referência da Terra e volta, enquanto Caseiro nunca deixou a Terra. Também é uma assimetria o fato de Viageiro e Caseiro concordarem sobre a leitura no relógio de Viageiro em cada evento mas não concordarem sobre a leitura do relógio de Caseiro em cada evento. As ações de Viageiro definem os eventos.
Juntos, o efeito Doppler e a relatividade explicam esse efeito matematicamente em qualquer instante. O leitor também poderá notar que a velocidade com que determinado relógio parece marcar o tempo também depende de ele estar se afastando ou se aproximando do observador.
Finalmente, é preciso mostrar que o paradoxo dos gêmeos é, hoje, mais que uma teoria, porque suas bases foram confirmadas experimentalmente. Num experimento desse tipo, o tempo de decaimento de um múon confirma a existência da dilatação do tempo. Múons estacionários têm vida média de cerca de 2,2 microssegundos. Quando passam por um observador em velocidade de 0,9994 c, sua vida média aumenta para 63,5 microssegundos, exatamente como prevê a relatividade especial. Experimentos em que relógios atômicos são transportados em velocidades variáveis também produziram resultados que confirmam a relatividade especial e o paradoxo dos gêmeos. No famoso experimento de Hafele-Keating em 1971, por exemplo, os pesquisadores colocaram relógios atômicos de césio a bordo de aviões comerciais que viajavam – primeiro para leste e depois para oeste – e compararam esses tempos com medidas de relógios fixos no Observatório Naval dos Estados Unidos.
